Ak. god. 2024./2025.

Kratko ćemo prikazati razne aksiomatizacije prirodnih brojeva i njihovu povijest. Zatim ćemo se osvrnuti na njihov logički status, u klasičnom logicizmu i neologicizmu. I konačno na njihov ontološki status, u logicizmu i teoriji skupova.

Quineova teorija Novih temelja, obogaćena Jensenovim atomima, plodno je tlo za razvoj novih metoda bavljenja matematikom u suradnji čovjeka i računala, budući da objedinjuje ljudsku intuiciju teorije skupova s računalnom strogošću teorije tipova. Osnovni alat za postizanje toga je definicija novih pojmova kao skupova, koristeći komprehenziju po stratificiranim formulama. Ipak, potreba za iteriranjem takve konstrukcije (novi pojmovi često se definiraju koristeći već prethodno definirane pojmove) iziskuje karakterizaciju stratificiranih formula obogaćenih termima dobivenih komprehenzijama.

Tri su uobičajena pristupa: eliminacija (svođenjem na osnovne formule), pridjeljivanje tipova (shvaćajući ih kao nove varijable s posebnim uvjetima stratifikacije) i imenovanje (proširenjem signature novim konstantskim i funkcijskim simbolima). Prije dvije godine pojavila se ideja usklađivanja ta tri pristupa, pokazujući da svi vode do “istog” skupa stratificiranih formula u proširenom jeziku.

Na studijskom boravku u Edinburghu, u suradnji s Markom Dokom razvijen je ovjereni (formalno dokazano korektni) algoritam za stratifikaciju, i dokazano je da (do na zanimljiv izuzetak s konstantskim termima) eliminacija komprehenzijskih terma vodi do istih stratificiranih formula kao njihova tipizacija. Na seminaru će biti prikazani ti rezultati.

Quineova teorija Novih temelja, obogaćena Jensenovim atomima, plodno je tlo za razvoj novih metoda bavljenja matematikom u suradnji čovjeka i računala, budući da objedinjuje ljudsku intuiciju teorije skupova s računalnom strogošću teorije tipova. Osnovni alat za postizanje toga je definicija novih pojmova kao skupova, koristeći komprehenziju po stratificiranim formulama. Ipak, potreba za iteriranjem takve konstrukcije (novi pojmovi često se definiraju koristeći već prethodno definirane pojmove) iziskuje karakterizaciju stratificiranih formula obogaćenih termima dobivenih komprehenzijama.

Tri su uobičajena pristupa: eliminacija (svođenjem na osnovne formule), pridjeljivanje tipova (shvaćajući ih kao nove varijable s posebnim uvjetima stratifikacije) i imenovanje (proširenjem signature novim konstantskim i funkcijskim simbolima). Prije dvije godine pojavila se ideja usklađivanja ta tri pristupa, pokazujući da svi vode do “istog” skupa stratificiranih formula u proširenom jeziku.

Na studijskom boravku u Edinburghu, u suradnji s Markom Dokom razvijen je ovjereni (formalno dokazano korektni) algoritam za stratifikaciju, i dokazano je da (do na zanimljiv izuzetak s konstantskim termima) eliminacija komprehenzijskih terma vodi do istih stratificiranih formula kao njihova tipizacija. Na seminaru će biti prikazani ti rezultati.

U izračunljivom metričkom ili topološkom prostoru, poluizračunljiv skup ne mora nužno biti izračunljiv. No, ta implikacija vrijedi uz određene dodatne pretpostavke na topološka svojstva prostora. Primjerice, svaka poluizračunljiva kompaktna mnogostrukost je izračunljiva, kao i svaki poluizračunljiv lančast kontinuum. Za topološki prostor kaže se da ima izračunljiv tip ako je svaka njegova poluizračunljiva homeomorfna kopija ujedno i izračunljiva. Imajući u vidu poznate rezultate o izračunljivom tipu određenih klasa topoloških prostora, u ovom radu promatrat će se izračunljiv tip kao topološka invarijanta i istražiti njegovo očuvanje pri djelovanju nekih topoloških konstrukcija. Pri tome je cilj promatrati prostore kao unije njihovih potprostora i razviti tehnike koje omogućuju da se svaki potprostor promatra zasebno. U ovom radu bit će izloženi rezultati o izračunljivom tipu produkta lančastih kontinuuma te adjunkcijskih i kvocijentnih prostora mnogostrukosti.

Na prezentaciji teme doktorske disertacije prvo ćemo dati motivaciju za uvođenje inkvizitivne modalne logike, nakon čega ćemo iskazati njena osnovna svojstva i prikazati dosadašnje rezultate. Nakon toga ćemo razmatrati pojam bisimulacije i definirati bisimulacijski kvocijent nekog modela. Nadalje, cilj nam je dokazati da inkvizitivna modalna logika ima svojstvo konačnih modela i da je odlučiva. Planiramo koristiti dvije poznate metode: metodu selekcije i metodu filtracije. Štoviše, želimo pokazati da i neka proširenja inkvizitivne modalne logike imaju svojstvo konačnih modela i da su odlučiva. Na kraju ćemo razmatrati inkvizitivnu okolinsku logiku, pri čemu slične rezultate planiramo pokazati i za ovu logiku.

Logika interpretabilnosti IL je proširenje logike dokazivosti GL. Kao što formule GL interpretiramo na Kripkeovim okvirima, formule IL interpretiramo na Veltmanovim okvirima. Za razliku od normalnih modalnih logika, za koje u Kripkeovoj semantici možemo konstruirati kanonske modele, to nije slučaj s logikama interpretabilnosti i Veltmanovom semantikom. Međutim, prelaskom na tzv. opće okvire, možemo konstruirati slične modele. Pomoću tih konstrukcija možemo dokazati i teorem (jake) potpunosti.